Hexágonos en la naturaleza
Cuando se ejerce una presión uniforme sobre la superficie de una circunferencia o cilindro, la figura que se forma antes de colapsar es un hexágono o prisma de base hexagonal.
Los copos de nieven suelen tener una simetría hexagonal. ¿Por qué?

La explicación se debe a que la simetría de seis puntas que se suele observar nace de la estructura de cristal hexagonal, que por eficacia energética, adopta el hielo ordinario. Es decir, cuando el agua se congela las fuerzas de interacción entre moléculas de agua ganan a las fuerzas derivadas del movimiento térmico y forman un conjunto rígido que presenta su estado más estable (de menor energía) cuando se ordenan con simetría hexagonal. Los seis brazos se parecen tanto entre sí porque todos se forman en condiciones similares.

Panel de abejas y copo de nieve.
El salar de Uyuni es el mayor desierto de sal continuo y alto del mundo. Está situado en Bolivia.
Ojo compuesto de un insecto.
La Calzada de los Gigantes: producida por la formación de las diaclasas.
Columnas hexagonales de basalto en la Calzada del Gigante, condado de Antrim, Irlanda del Norte.
Hace aproximadamente 60 millones de años el enfriamiento rapido de la lava de una caldera volcánica originó la formación de unas 40.000 columnas de basalto de forma hexagonal que hoy recorren esta región de la costa norte irlandesa.

Hexágono de Saturno
Se cree que el hexágono se forma en zonas donde hay un alto gradiente latitudinal en la velocidad de los vientos atmosféricos de Saturno. Se crearon formas similares en laboratorio al hacer que un tanque circular de líquido rotase a distinta velocidad en el centro y la periferia. Se consiguieron todo tipo de formas entre triangular y octogonal, si bien se observó que la forma más común era un hexágono.

Las formas geométricas eran obtenidas en un área de flujo turbulento entre dos fluidos rotando a distintas velocidades. Se formaron cierto número de vórtices estables de tamaño similar en la zona externa del flujo, más lenta, y éstos interactuarón entre sí hasta quedar uniformemente repartidos por el perímetro de la superficie. La presencia de los vórtices induce al límite de la turbulencia a desplazarse, formando el efecto poligonal.

Las formas poligonales no se producen en fronteras turbulentas cuando los parámetros de viscosidad y diferencial de velocidad no superan cierto valor límite, de modo que no están presentes en otros sitios de características similares, tales como el polo sur del propio Saturno o los polos de Júpiter.

Trazado del cuadrado, octógono y el hexadecágono

1. Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, un cuadrado. (El cuadrado no admite estrellados).
2. A continuación, trazaremos las bisectrices de dos ángulos de 90º, dichas bisectrices las prolongamos pasando por O, que nos determinarán sobre la circunferencia un octógono inscrito.
3. Trazaremos las bisectrices de los cuatro ángulos de 45º superiores,  las prolongamos pasando por el centro O, creando las bisectrices de los cuatros ángulos inferiores. Dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia un hexadecágono inscrito.

Trazado de un heptágono

Dada la circunferencia de centro O deberás seguir estos pasos:
1. Dividir la circunferencia en cuatro partes.
2. Trazar la mediatriz del radio.
3. El lado del heptágono será la mediatriz, desde el punto medio del radio hasta su intersección con la circunferencia.
4. Con el compás, se lleva sobre la circunferencia este lado siete veces y se unen para obtener el pentágono inscrito en la circunferencia.
5. Poner letras a los vértices.

Trazado de un Pentágono

Dada la circunferencia de centro O deberás seguir estos pasos:
1. Dividir la circunferencia en cuatro partes.
2. Trazar la mediatriz del radio para obtener el punto medio.
3. Con centro en este punto medio y abertura del compás hasta la parte superior, se traza un arco, obteniendo el lado del pentágono.
4. Con el compás, se lleva sobre la circunferencia este lado cinco veces y se unen para obtener el pentágono inscrito en la circunferencia.
5. Poner letras a los vértices.

Método general de realización de polígonos regulares conociendo el RADIO.

1. Con el compás tomamos la medida del diámetro y trazamos dos arcos desde los extremos de éste.
2. Trazamos una línea vertical por el centro de la circunferencia y luego una recta con un ángulo cualquiera desde uno de los puntos de corte.
3. Vamos a aplicar el Teorema de Tales, para dividir el diámetro en 9 partes iguales (porque vamos a dibujar el ENEÁGONO). Dividimos la segunda recta, con una apertura cualquiera del compás, un número de veces igual al número de lados del polígono que queremos crear, en esta caso lo haremos de 9 lados.
4. Y ahora unimos el último punto de las divisiones con el punto inferior del diámetro...
5. ...y trazamos 4 líneas paralelas a ésta pasando por los puntos de intersección de las divisiones (PARES o IMPARES) y cortando con el diámetro de nuestra circunferencia.
6. Ahora unimos el punto de intersección de los dos arcos "S" con una recta pasando por el punto "1","3""5" y "7", cortando con la circunferencia.
7. Si tomamos la distancia con el compás desde dos intersecciones contiguas, tendremos la medida del lado del eneágono.
8. Con el compás, pasaremos la medida a través del perímetro de nuestra circunferencia y unimos los puntos que formarán nuestro eneágono regular.
9. Poner letras a los vértice.

Método general de realización de polígonos regulares conociendo el LADO.

Para trazar un polígono regular de cualquier número de lados inscritos en una circunferencia dada, seguiremos los siguientes pasos :
1. Hallar la mediatriz del lado AB y trazar un arco con centro en A o en B y con radio el lado, hasta cortar a la mediatriz en un punto que llamamos 6.
2. Con centro en 6 y radio el lado AB trazamos un arco auxiliar hasta cortar a la mediatriz en un punto que llamamos 12.
3. Se divide el segmento 6-12 en 6 partes iguales por medio del Teorema de Thales.
4.Cada una de las divisiones obtenidas entre 6 y 12, es decir 7,8,9...12, son centros de sus polígonos respectivos, así si queremos trazar el polígono de 6 lados sólo tenemos que centrar el compás en 6 y con radio 6-A, trazar la circunferencia que contendrá a ese polígono. Si tenemos que trazar el polígono de 8 lados, sólo habrá que centrar el compás en 8 y con radio 8-A trazar la circunferencia que contendrá al octógono... y así sucesivamente. En nuestro caso haremos el de 9 lados.

POLÍGONOS ESTRELLADOS

Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen, al menos, un ángulo interior que mide más de 180°. Dentro de este grupo, se encuentran los polígonos estrellados, caracterizados por su forma de estrella.
Otras características propias de los polígonos cóncavos y de los polígonos estrellados son que, además, tienen una o más diagonales exteriores y disponen de dos o más vértices que, al ser unidos por un segmento, éste corta al menos un lado de la figura.
Una manera de construir polígonos estrellados es mediante la superposición y el giro de otros polígonos. Así es posible desarrollar numerosos polígonos con forma de estrella.
Al dividir una circunferencia en n partes y unirlas de manera sucesiva es posible obtener un polígono regular convexo; si las uniones entre los vértices se efectúan de dos en dos, de tres en tres, etcétera, se obtiene un polígono cóncavo y estrellado.
Polígono regular 5/2. Es claro que no puede haber más.

El heptágono regular genera dos estrellados, 7/2 y 7/3.
8/3 es el único estrellado que se genera partiendo del octógono regular.  
El eneágono genera dos estrellados, 9/2 y 9/4.
Decágono. No hay más, ya que 10/4 = 5/2.

Nombre de todos los polígonos. Cuadriláteros, Paralelogramo, Paralelepípedo...