PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS

El punto de tangencia se encuentra en la recta que une los centros.
La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
Los centros de las circunferencias que pasen por dos puntos están en la mediatriz del segmento.
Los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas se encuentran en la bisectriz del ángulo que forman.
Circunferencias tangentes conociendo el radio:
Por un PUNTO: con centro en el punto se traza una circunferencia con el radio dado.
Por una RECTA: se trazan paralelas con la separación del radio dado.
Por una CIRCUNFERENCIA: Por el centro se traza un segmento cualquiera.
Por el punto de corte con la circunferencia, sumaremos y restaremos el radio dado cortando a el segmento en dos puntos.
Con centros en el centro de la circunferencia dada, y radios hasta estos puntos, trazamos circunferencias.

Representación de las intersecciones de las trayectorias de los centros de dos circunferencias.

Rectas tangentes a una circunferencia por un punto A.

Unimos el punto con el centro de la circunferencia y trazamos su mediatriz.
Con centro en el punto medio M y radio hasta O trazamos un arco que cortará a la circunferencia en los puntos de tangencia.
Unimos estos puntos de tangencia con el punto A para trazar las tangentes.

Rectas tangentes EXTERIORES a dos circunferencias de distinto radio.

Por el centro de la circunferencia mayor se traza un segmento cualquiera.
Por el punto de corte con la circunferencia, restamos el radio dado.
Con centros en el centro de esta circunferencia, y radios hasta la resta del radio anterior, dibujamos una circunferencia.
Unimos los centros y trazamos su mediatriz.
Con centro en el punto medio M y radio hasta O1 trazamos un arco que cortará a la circunferencia auxiliar en los puntos A y B.
Unimos A y B con el centro O1, para determinar los puntos de tangencia con O1.
Por O2 se trazan rectas paralelas a estos segmentos, para hallar los puntos de tangencia con O2.
Unimos los puntos de tangencia para dibujar las rectas tangentes interiores, que serán perpendiculares a los centros de las circunferencias dadas.

Rectas tangentes INTERIORES a dos circunferencias de distinto radio.

Por el centro de la circunferencia mayor se traza un segmento cualquiera.
Por el punto de corte con la circunferencia, sumamos el radio dado.
Con centros en el centro de esta circunferencia, y radios hasta la suma del radio anterior, dibujamos una circunferencia.
Unimos los centros y trazamos su mediatriz.
Con centro en el punto medio M y radio hasta O1 trazamos un arco que cortará a la circunferencia auxiliar en los puntos A y B.
Unimos A y B con el centro O1, para determinar los puntos de tangencia con O1.
Por O2 se trazan rectas paralelas a estos segmentos, para hallar los puntos de tangencia con O2.
Unimos los puntos de tangencia para dibujar las rectas tangentes interiores, que serán perpendiculares a los centros de las circunferencias dadas.

Dibujar circunferencias de radio R, que sean tangentes a una recta y a una circunferencia.

Cuando nos dan una recta se trazan rectas paralelas a ella, separadas el radio dado. En este caso solo por la parte superior, porque por la inferior no habrá soluciones.

Por el centro se traza un segmento cualquiera.
Por el punto de corte con la circunferencia, sumaremos y restaremos el radio dado cortando a el segmento en dos puntos A y B.
Con centros en el centro de la circunferencia dada, y radios hasta los puntos A y B, trazamos circunferencias, que al cortar con la recta paralela nos darán todos los centros buscados.
Unimos O1 con todos los centros para hallar los puntos de tangencia.
Desde los centros, trazamos perpendicular a la recta r para hallar los puntos de tangencia con esta recta.

Dibujar circunferencias de radio R, que sean tangentes a una recta y a una circunferencia.

Cuando nos dan una recta se trazan rectas paralelas a ella, separadas el radio dado. En este caso solo por la parte superior, porque por la inferior no habrá soluciones.

Por el centro se traza un segmento cualquiera.
Por el punto de corte con la circunferencia, sumaremos y restaremos el radio dado cortando a el segmento en dos puntos A y B.
Con centros en el centro de la circunferencia dada, y radios hasta los puntos A y B, trazamos circunferencias, que al cortar con la recta paralela nos darán todos los centros buscados.
Unimos O1 con todos los centros para hallar los puntos de tangencia.
Desde los centros, trazamos perpendicular a la recta r para hallar los puntos de tangencia con esta recta.

Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia cuando son secantes.

Cuando nos dan una recta se trazan rectas paralelas a ella, separadas el radio dado.

Por el centro se traza un segmento cualquiera.
Por el punto de corte con la circunferencia, sumaremos y restaremos el radio dado cortando a el segmento en dos puntos.
Con centros en el centro de la circunferencia dada, y radios hasta los extremos de los puntos del segmento, trazamos circunferencias, que al cortar con las rectas paralelas nos darán todos los centros buscados.
Unimos O1 con todos los centros para hallar los puntos de tangencia.
Desde los centros, trazamos perpendicular a la recta r para hallar los puntos de tangencias con esta recta.

Dibujar circunferencias de radio R tangentes a dos circunferencias secantes.

Por los centros se trazan dos segmentos cualesquiera.
Por los puntos de corte con las circunferencias, sumaremos y restaremos el radio dado cortando a los segmentos.
Con centros en los centros de las circunferencias dadas, y radios hasta los extremos de los segmentos, trazamos circunferencias, que al cortaren entre sí nos darán todos los centros buscados.

Unimos O1 y O2 con todos los centros para hallar los puntos de tangencia.

Dibujar circunferencias de radio R tangentes a dos circunferencias exteriores.

Por los centros se trazan dos segmentos cualesquiera.
Por los puntos de corte con las circunferencias, sumaremos y restaremos el radio dado cortando a los segmentos.
Con centros en los centros de las circunferencias dadas, y radios hasta los extremos de los segmentos, trazamos circunferencias, que al cortaren entre sí nos darán todos los centros buscados.
Unimos O1 y O2 con todos los centros para hallar los puntos de tangencia.

Trazar dos circunferencias tangentes a otras tres de igual diámetro, de tal manera que una sea exterior a las tres y la otra las contenga.

Se unen los tres centros.
Trazamos sus tres mediatrices hallando el circuncentro.
Unimos este centro con los otros tres centros, dándonos los puntos de tangencia.
Realizamos las dos circunferencias con centro en el circuncentro y radios hasta los puntos de tangencia.

Dado el triángulo equilátero de lado 100 mm. inscribir tres circunferencias iguales de modo que sean tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo. Indicar procedimiento seguido.

Se dibujan las bisectrices de los tres ángulos.

Se traza una bisectriz de uno de los ángulos de 90 º, o bien trazarla con ángulo de 45º.
En las intersecciones de las bisectrices tendremos el incentro del triángulo buscado.
Por simetría central y con el compás dibujamos un circulo concéntrico que nos darán los otros dos centros.

Dibujar cinco circunferencias tangentes entre sí y tangentes interiores a otra de radio 80 mm.

Se divide la circunferencia en cinco partes iguales, realizando un PENTÁGONO.
Se trazan los cinco radios que nos dividen la circunferencia en cinco sectores.
Se prolongan los radios, dividiendo la circunferencia en 10 partes iguales.
Un sector lo convertimos en triangulo isósceles, realizando una recta tangente exterior a la circunferencia por el punto de corte con un radio.
Trazamos el INCENTRO de este triángulo.
Por simetría central y con el compás dibujamos un circulo concéntrico que nos darán los otros cuatros centros.
Los puntos de tangencias también se pueden trazar con el mismo procedimiento.

EJERCICIOS PARA RESOLVER Y EXÁMENES