Dibujar dos circunferencias tangentes a dos lados de un triangulo A, B y C, y tangentes entre sí.

Se trazan las bisectrices de dos de sus ángulos.
Con un centro al azar en una de ellas se dibuja una circunferencia tangente a dos lados.
Con el mismo radio se dibuja otra circunferencia tangente entre sí y a un lado del triángulo.
Se resuelve por homotecia:
Tangente a esta última circunferencia se traza una recta paralela al lado BC, formado B´ y C´.
Unimos el vértice C´ con el centro de una de las circunferencias.
Por el vértice C se dibuja una paralela a este segmento hallando en su bisectriz un centro solución.
Se pasa el radio a la otra bisectriz mediante una paralela al lado AB.
trazamos las circunferencias.
Se hallan todos los puntos de tangencias, desde los centros trazando perpendiculares a las rectas y uniendo los centros.

Tenemos dos circunferencias de radio 15 mm, tangentes a un triángulo equilátero de 100 mm, se pide dibujar una circunferencia tangente as las dos dadas y al triángulo.

El ejercicio se reduce a hallar una circunferencia tangente a dos rectas y a otra circunferencia.
Dibujamos el triángulo equilátero de 100 mm.
Se trazan paralelas interiores a 15 mm para hallar los centros de las circunferencias.
Dibujamos dos paralelas exteriores a 15 mm del triángulo.
Realizamos su bisectriz. Se procura que el primer arco sea lo mayor posible para más precisión.
Al azar dibujamos una circunferencia tangente a estas rectas.
Se resuelve por homotecia:
Unimos el punto de intersección de las rectas auxiliarles con el centro O2.
Donde corte esta recta con la circunferencia hecha al azar, obtendremos el punto M que se une con su centro.
Realizamos una paralela a este segmento por O2, cortando a la bisectriz en el centro solución.
Se hallan todos los puntos de tangencias, desde el centro trazando perpendiculares a las rectas y uniendo los centros.

Dibujar circunferencias tangentes a la recta por el punto A y a la circunferencia O1. EXTERIORES

Dibujamos una perpendicular a la recta por el punto A.
Por este punto se suma y resta el radio de la circunferencia, dándonos los puntos B y C.
Se unen estos puntos con el centro de la circunferencia y posteriormente, realizamos sus mediatrices.
La intersección de estas mediatrices con la recta perpendicular, nos darán los centros de las circunferencias buscadas.
Obtendremos los puntos de tangencias uniendo los centros.
Se recuerda que los centros y los puntos de tangencias están siempre alineados.

Dibujar circunferencias tangentes a la circunferencia dada y a la recta por el punto “A”. INTERIORES

Dibujamos una perpendicular a la recta por el punto A.
Por este punto se suma y resta el radio de la circunferencia, dándonos los puntos B y C.
Se unen estos puntos con el centro de la circunferencia y posteriormente, realizamos sus mediatrices.
La intersección de estas mediatrices con la recta perpendicular, nos darán los centros de las circunferencias buscadas.
Obtendremos los puntos de tangencias uniendo los centros.
Se recuerda que los centros y los puntos de tangencias están siempre alineados.

Trazar las circunferencias tangentes a otras dos dadas, conocido el punto de tangencia en una circunferencia.

Se dibuja una recta por O2 y T1. En esta recta se suma y resta el radio de la otra circunferencia O1, dándonos los puntos A y B.
Se unen estos puntos con el centro O1 y posteriormente, realizamos sus mediatrices.
En donde se corten estas mediatrices con la recta que pasa por T1 y O2, tendremos los centros solución.
Unimos los centros para hallar los puntos de tangencias y dibujamos las circunferencias.
Se recuerda que los centros y los puntos de tangencias están siempre alineados.
Cuando las circunferencias dadas son interiores se realiza del mismo modo.

Por potencia: trazar las circunferencias tangentes a otras dos, conociendo un punto “T” de tangencia.

Se dibuja una recta por O1 y T1. En esta recta se marca un centro “Oa” al azar.
Realizamos la tangente por T1, perpendicular a la anterior recta.
Con centro en “Oa” y radio hasta el punto de tangencia, se realiza una circunferencia que corte a la circunferencia O2 en los puntos 1 y 2. Estos puntos se une para hallar el punto P en la recta tangente.
A partir de P se trazan los puntos de tangencia a la circunferencia O2.
Estos puntos de tangencias se unen con O2, para hallar los centros de las circunferencias solución, en la recta que pasa por O1 y T1.
Se recuerda que los centros y los puntos de tangencias están siempre alineados.

Cuando las circunferencias dadas son interiores se realiza del mismo modo.

Dibujar circunferencias tangentes a la recta “r” y que pasen por los puntosa A y B.

Se unen los puntos con una recta y en su intersección con r nos dará el punto P.
Realizamos la mediatriz entre los puntos.
Con centro en esta mediatriz, se traza una circunferencia al azar que contenga a los puntos A y B.
Desde el punto P se traza una recta tangente a la circunferencia, hallando su punto de tangencia.
Con centro en P y radio hasta el punto de tangencia, dibujamos un arco que cortará a la recta r en los puntos de tangencia solución.
Desde estos puntos de tangencia se trazan perpendiculares hasta la mediatriz, y en su intersección estarán los centros de las circunferencias buscadas.
Se trazan las circunferencias desde estos centros y radios hasta los puntos A o B.

Dibujar circunferencias tangentes a dos rectas y UN PUNTO.

Realizamos la bisectriz del ángulo formado entre las rectas.
Desde el punto A se dibuja una perpendicular a la bisectriz cortándose en P con la recta r.
Por simetría axial se duplica A en B.
Convirtiéndose el ejercicio en circunferencias tangentes a dos puntos y una recta r.
Con centro en la bisectriz, se traza una circunferencia al azar que contenga a los puntos A y B.
Desde el punto P se traza una recta tangente a la circunferencia, hallando su punto de tangencia.
Con centro en P y radio hasta el punto de tangencia, dibujamos un arco que cortará a la recta r en los puntos de tangencia solución.
Desde estos puntos de tangencia se trazan perpendiculares hasta la bisectriz, y en su intersección estarán los centros de las circunferencias buscadas.
Se trazan las circunferencias finales desde estos centros y radios hasta los puntos A o B.
Se Hallan los puntos de tangencias con la recta s trazando perpendiculares desde los centros.

Dibujar circunferencias tangentes a dos rectas y a otra circunferencia.

Realizamos la bisectriz del ángulo formado entre las rectas.
La circunferencia se comprime a un punto, que será su centro, y una de las rectas se dilata el radio de la circunferencia.
Por simetría axial el punto O1 se duplica en O´1.
Convirtiéndose el ejercicio en circunferencias tangentes a dos puntos y una recta r´.
Unimos los puntos con una recta que cortara a r´ en P.
Con centro en la bisectriz o mediatriz de los puntos, se traza una circunferencia al azar que contenga a los puntos O1 y O´1.
Por P se halla una recta tangente a la circunferencia. Se localiza su punto de tangencia.
Con centro en P y radio hasta el punto de tangencia, se traza un arco que cortará a la recta r´ en los puntos de tangencia solución.
Desde estos puntos de tangencia se trazan perpendiculares hasta la bisectriz, dándonos los centros de las circunferencias buscadas.
Se trazan las circunferencias finales desde estos centros y radios hasta las rectas r y s.
Se hallan todos los puntos de tangencias, desde los centros trazando perpendiculares a las rectas y uniendo los centros.
Las circunferencias tienen que ser tangentes a la circunferencia dada O1.

Tenemos dos rectas y una circunferencia, con centro equidistante a las rectas. Se pide hallar las circunferencias tangentes a las dos rectas y a la circunferencia dada.

Realizamos paralelas exteriores a las rectas r y s, con una separación igual al radio de la circunferencia dada.
Por el centro de la circunferencia trazamos una perpendicular que corte a una recta auxiliar en M.
Realizamos las bisectrices de los ángulos formados.
En las intersecciones de las bisectrices tendremos los centros solución(INCENTRO).
Desde estos centros se trazan rectas perpendiculares a las rectas r y s, para hallar sus puntos de tangencias. Unimos los centros con O1, para hallas los puntos de tangencia entre sí.
Dibujamos las dos circunferencias solución. 

Trazar las circunferencias tangentes a una circunferencia y a los dos puntos EXTERIORES.

Unimos los dos puntos con una recta y realizamos su mediatriz.
En esta mediatriz situamos un centro al azar y trazamos una circunferencia que pase por A y B, cortando a la circunferencia dada en puntos 1 y 2. Después, los unimos con una recta. Las dos rectas se cortarán en el punto P.
Desde P localizamos los puntos de tangencia a la circunferenciaO1.
Uniendo estos puntos de tangencia con el centro O1, hallaremos los centros solución en la mediatriz de AB.
Desde estos centros y con radio hasta A o B, realizamos las dos circunferencias buscadas.

Trazar las circunferencias tangentes a una circunferencia y a los dos puntos INTERIORES.

Unimos los dos puntos con una recta y realizamos su mediatriz.
En esta mediatriz situamos un centro al azar y trazamos una circunferencia que pase por A y B, cortando a la circunferencia dada en puntos 1 y 2. Después, los unimos con una recta. Las dos rectas se cortarán en el punto P.
Desde P localizamos los puntos de tangencia a la circunferencia O1.
Uniendo estos puntos de tangencia con el centro O1, hallaremos los centros solución en la mediatriz de AB.
Desde estos centros y con radio hasta A o B, realizamos las dos circunferencias buscadas.

Trazar las circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos puntos equidistantes.

En este ejercicio los puntos dados son equidistantes a la circunferencia dada.
Unimos los dos puntos con una recta y realizamos su mediatriz.
En esta mediatriz situamos un centro al azar y trazamos una circunferencia que pase por los dos puntos y corte a la circunferencia dada. Los puntos de corte 1 y 2 se une con una recta.
Las dos rectas resultantes son paralelas, por lo tanto, el punto P estará en el infinito.
Desde el infinito trazamos rectas tangentes a la circunferencia, que nos determinarán los puntos de tangencia. Es decir, rectas paralelas.
Una circunferencia pasará por los puntos A, B y T1, y la otra circunferencia pasará por A, B y T2. Se tendrá que hallar los circuncentros de dos triángulos, mediante mediatrices.
Con centro en estos circuncentros y radio hasta A o B, se trazan las dos circunferencias buscadas.

Trazar la circunferencia con centro sobre una recta r y tangente exterior a otras dos circunferencias dadas.

Trazar también la interior. (marcar puntos de tangencia y no borrar las construcciones auxiliares empleadas)
Analizando el ejercicio observamos que la recta r es el eje de simetría de las dos circunferencias buscadas.
Por lo tanto, si duplicamos la circunferencia menor y luego comprimimos todas las circunferencias el radio de la más pequeña, tendremos que realizar tangentesa dos puntos y una circunferencia.
Por el centro de la circunferencia mayor dibujamos una recta cualquiera, y le quitamos el radio de la circunferencia menor. Trazamos la circunferencia auxiliar y por simetría axial duplicamos el centro de la menor.
Con centro en cualquier punto de la recta r, trazamos una circunferencia que pase por los centros duplicados y que corte a la circunferencia auxiliar en los puntos 1 y 2. Unimos estos puntos con una recta que cortará a la recta que pasa por los centros O1 y O´1, en P.
Desde P localizamos los puntos de tangencia a la circunferencia auxiliar.
Uniendo estos puntos de tangencia con el centro O2 hallaremos en la recta r los centros solución.
Hallamos todos los puntos de tangencia uniendo los centros.
Realizamos las dos circunferencias solución. 

Problema de Apolonio: dibujar dos circunferencias que pasen por un punto y sean tangentes a otras dos.

Por los centros de las circunferencias se tranzan dos rectas paralelas con cualquier dirección.
Se unen los puntos de corte, dándonos el centro de inversión M. Este centro se une con el punto A.
Los centros de las circunferencias se unen obteniendo los puntos R y S.
Dibujamos una circunferencia que pase por los puntos R, S y A, trazando dos mediatrices.
Esta circunferencia O3 corta a la recta de M con A, en su inverso A´.
El problema que resulta ahora es el de dibujar las circunferencias que pasan por los puntos A y A´ y es tangente a una de las dos circunferencias auxiliares.
Se unen los puntos de corte de la circunferencia O3 con una de las auxiliares, para hallar el punto P en la recta que unen los puntos A y A´.
Desde P trazamos los puntos de tangencias a lacircunferencia auxiliar.
Se dibuja la mediatriz de los puntos A y A´, y en esta mediatriz estarán los centros solución.
Que se hallaran al unir el centro O1 con sus puntos de tangencia.
Para localizar todos los puntos de tangencias, unimos los dos centros solución con el otro centro dado.
Realizamos las dos circunferencias.

Problema de Apolonio: dibujar dos circunferencias tangentes a otras tres.

Existen ocho soluciones, una circunferencia interior, otra exterior y seis mixtas.
Reducimos el radio de la circunferencia más pequeña en las otras dos. Realizamos las nuevas circunferencias auxiliares. Ahora tendremos que hallar el centro de las circunferencias tangentes a otras dos y que pasen por un punto.
Unimos los centros de estas dos circunferencias. Por ellos realizamos dos paralelas con cualquier dirección.Los puntos de corte se unen para hallar el centro de inversión M.
M se une con O1.
Al unir los centros se generaron dos puntos de corte R y S.
Dibujamos una circunferencia que pase por los puntos R, S y O1, trazando dos mediatrices.
Esta circunferencia O4 corta a la recta M con O1, en su inverso O´1.
El problema que resulta ahora es el de dibujar las circunferencias que pasan por los puntos O1 y O´1 y es tangente a una de las dos circunferencias auxiliares.
Se unen los puntos de corte de la circunferencia O4 con una de las auxiliares para hallar el punto P en la recta que unen los dos puntos.
Desde P trazamos los puntos de tangencias a la circunferencia auxiliar.
Se dibuja la mediatriz de los puntos O1 y O´1, y en esta mediatriz estarán los centros solución.
Que se hallaran al unir el centro O2 con sus puntos de tangencia.
Para localizar todos los puntos de tangencias, unimos los dos centros solución con los tres centros dados.
Realizamos las dos circunferencias solución.

Problema de Apolonio: dibujar las circunferencias tangentes EXTERIORES a un punto, una recta y una circunferencia.

Trazamos una perpendicular a la recta que pase por el centro de la circunferencia dada.
Dibujamos la circunferencia que pase por los puntos A, J y Q, mediante dos mediatrices.
Unimos el punto A con F para hallar el punto B sobre la circunferencia anterior.
Ahora recurrimos al caso de tangencias a dos y una recta para obtener las circunferencias buscadas.
Unimos A con B con una recta que la prolongamos para que corte con la recta en P.
Dibujamos la mediatriz del segmento AB. En ella elegimos un centro al azar y dibujamos una circunferencia que pase por los puntos A y B.
Realizamos la mediatriz de P a O(azar), y con centro en la mitad, trazamos un arco que nos dará el punto de tangencia con la circunferencia hecha al azar.
Con centro en P y radio hasta T(azar) trazamos un arco que nos cortará a la recta dada en los puntos de tangencias finales.
Desde estos puntos de tangencias se trazan dos perpendiculares hasta la mediatriz de AB, que nos determinarán los centros solución O3 y O4.
Unimos estos centros con O1 para hallar los puntos de tangencias con la circunferencia.
Realizamos las dos circunferencias solución.

Problema de Apolonio: dibujar las circunferencias tangentes INTERIORES a un punto, una recta y una circunferencia.

Trazamos una perpendicular a la recta que pase por el centro de la circunferencia dada.
Dibujamos la circunferencia que pase por los puntos A, F y Q, mediante dos mediatrices.
Unimos el punto A con J para hallar el punto B sobre la circunferencia anterior.
Ahora recurrimos al caso de tangencias a dos puntos y una recta para obtener las circunferencias buscadas.
Con una recta unimos A con B y la prolongamos para que corte con la recta en P.
Dibujamos la mediatriz del segmento AB. En ella elegimos un centro al azar y dibujamos una circunferencia que pase por los puntos A y B.
Realizamos la mediatriz de P a O(azar), y con centro en la mitad, trazamos un arco que nos dará el punto de tangencia con la circunferencia hecha al azar.
Con centro en P y radio hasta T(azar) trazamos un arco que nos cortará a la recta dada en los puntos de tangencias finales.
Desde estos puntos de tangencias se trazan dos perpendiculares hasta la mediatriz de AB, que nos determinarán los centros solución O3 y O4.
Unimos estos centros con O1 para hallar los puntos de tangencias con la circunferencia.

Realizamos las dos circunferencias solución.

EJERCICIOS  Y  EXÁMENES