TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Las transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. la nueva figura se llamará "homólogo" de la original.
Las transformaciones se clasifican en:
Directa: el homólogo conserva el sentido del original en el plano cartesiano
Inversa: el sentido del homólogo y del original son contrarios

También se pueden clasificar de acuerdo con la forma del homólogo con respecto al original en:
Isométricas: el homólogo conserva las dimensiones y ángulos. También se llaman "movimientos", éstos son simetría axial y central, rotación y traslación.
Isomórficas: el homólogo conserva la forma y los ángulos. existe proporcionalidad entre las dimensiones del homólogo con el original. una de ellas es la homotecia.
Anamórficas: cambia la forma de la figura original. Una de ellas es la inversión.

CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Isométrico deriva del griego: igual medida.
Isomorfismo deriva del griego iso-morfos: igual forma.
Anamorfosis se toma del griego que significa "transformar".

ISOMÉTRICAS DIRECTAS
Traslación:
Transformación geométrica equivalente a un desplazamiento rectilíneo, determinado por una dirección y magnitud determinada.
Giro:
Transformación geométrica equivalente a una rotación, determinada por un centro, un ángulo y un sentido.
Simetría central:
Tomada como un giro de 180º.
ISOMÉTRICAS INVERSAS
Simetría axial:
Se conoce como simetría axial a la simetría que existe en torno a un eje. La figura resultante exhiben las mismas características, pero invertidas.
Para determinar si existe la simetría axial, se considera que los puntos que pertenecen a una figura sean coincidentes con los puntos que forman parte de otra figura, tomando a modo de referencia el eje de simetría (una línea).
De esta manera, la simetría axial supone un fenómeno similar al que ocurre cuando un espejo refleja una imagen.

ISOMÓRFICAS
Semejanza directa:
En matemáticas, es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas.
Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes.
Las figuras tiene la misma forma e igual orientación.
Semejanza inversa:
Las figuras tiene la misma forma pero la orientación es distinta.

Homotecia directa:
La homotecia es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan homotéticos a partir de un punto fijo que multiplica todas las distancias por un mismo factor o razón.
Es directa si las figuras resultante tienen la misma orientación. Se da cuando los homólogo se encuentran al mismo lado del centro de homotecia.
Homotecia inversa:
Es inversa si las figuras resultante tienen distinta orientación. Se da cuando los homólogo se encuentran en diferentes lados del centro de homotecia.

ANAMÓRFICAS
Homología directa:
Dos figuras planas son homográficas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta de modo que a cada punto y recta de una figura le corresponden un punto y una recta de la otra.
Las figuras resultantes están transformadas y son distintas.
Es directa cuando un punto y su homólogo se encuentran en diferentes lados del Eje.
Homologia inversa:
es inversa cuando un punto y su homólogo se encuentran al mismo lado del Eje.

Afinidad directa:
La afinidad es una transformación geométrica, en el que el centro de afinidad se encuentre en el infinito. Los puntos relacionados o transformados se denominan afines.
La transformación de afinidad puede ser DIRECTA si la figura y su transformada están en el mismo lado del eje de afinidad.
Afinidad inversa:
La transformación de afinidad puede ser INVERSA si la figura y su transformada se encuentran en lados opuestos del eje de afinidad.

Inversión directa:
La Inversión en Dibujo Técnico es una transformación geométrica en la que a una figura corresponde otra y en la que se cumple que:
Dos puntos inversos (A, A’) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión (O),
El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante (K) y se llama Potencia de Inversión.
Es directa si el centro de Inversión (O) se encuentra fuera de la figura.
Inversión inversa:
Es inversa si el centro de Inversión (O) se encuentra dentro de la figura.

ESQUEMA de las Transformaciones Geometricas.

ROTACIÓN o GIRO de una figura

Transformación geométrica equivalente a una rotación, determinada por un centro, un ángulo y un sentido.

Un giro de centro O y ángulo α, es una transformación geométrica que hace corresponder a
cada punto A otro punto A', de modo que ambos puntos están a igual distancia de O, y el ángulo que
se obtiene al unir AOA' es α.
Los elementos necesarios para definir un giro son:

El centro de giro.
El ángulo de giro.
El sentido de giro, considerándose positivo el sentido antihorario.

El giro es una transformación isométrica (igual medida) lo que implica que un elemento y su
girado son iguales.
Al girar una figura, todos sus elementos describen arcos de circunferencias concéntricos en un
mismo sentido y un mismo ángulo.

Dibujar la homotecia directa de un rectángulo, conociendo la razón k=5/3

La homotecia es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan homotéticos a partir de un punto fijo que multiplica todas las distancias por un mismo factor o razón.
Cumplen las siguientes condiciones:
Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia (O).
La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).
Dos figuras homotéticas guardan relación de semejanza.
Existen 2 tipos de Homotecia:
Homotecia directa: se da cuando los homólogo se encuentran al mismo lado del centro de homotecia.
Homotecia inversa: se da cuando los homólogo se encuentran en diferentes lados del centro de homotecia.

Dibujar la homotecia directa de un rectángulo, conociendo la razón k = 3/5

El centro de homotecia se puede poner donde se desee, por lo tanto, lo situamos en el vértice A para optimizar líneas. Lo unimos con los otros vértices.
Esta razón es de reducción porque al realizar su división nos da menos de 1. Tendremos que dividir un segmento por ejemplo OB, en cinco partes y de ellas coger tres partes.

Dibujar la figura homotética de la dada. conociendo la razón k= -3/2

Ejercicio de homotecia inversa:

(la razón es una escala de transformación y el menos significa que la homotecia es inversa).

Inscribir un cuadrado que tenga un lado sobre otro del triángulo y dos vértices sobre los otros lados.

Ejercicio de homotecia:
Se dibuja un cuadrado cualquiera apoyado en un lado y con un vértice en otro lado del triángulo dado.
Con centro de homotecia en A, se amplia hasta que el vértice del cuadrado toque el otro lado del triángulo.

Ejercicio de homología directa: Hallar la figura homóloga del pentágono, conocido el eje de homología y un par de puntos homológicos.

La HOMOLOGÍA
Dos figuras planas son homográficas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta de modo que a cada punto y recta de una figura le corresponden un punto y una recta de la otra.

Dos figuras homológicas cumplen las siguientes condiciones:
Los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología.
Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología.

Existen 2 tipos de Homología:
Homología directa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran en diferentes lados del Eje.
Homología inversa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran al mismo lado del Eje.

Hallar la figura homológica de un triángulo equilátero

Ejercicio de homología inversa

Hallar el centro de homología, el eje y una de las dos rectas límites.

Hallar la figura homológica de una circunferencia.

Afinidad directa: Hallar la figura afín del triángulo, dado el eje de afinidad y un par de puntos afines.

La AFINIDAD
La afinidad es una transformación geométrica, en el que el centro de afinidad se encuentre en el infinito. Los puntos relacionados o transformados se denominan afines, y cumplen las siguientes condiciones:
La recta que une dos puntos afines siempre es paralela a una dirección dada, la dirección de la afinidad
Dos rectas afines se cortan siempre en un punto de una recta fija llamada eje de la afinidad.q2

Los elementos que intervienen en la afinidad son:
El eje de afinidad.
Un par de puntos afines o la razón de afinidad.
Una figura plana.
La transformación de afinidad puede ser DIRECTA si la figura y su transformada están en el mismo lado del eje de afinidad, o INVERSA si se encuentran el lados opuestos.

Ejercicio de AFINIDAD INVERSA

Hallar la figura afín, conocida la dirección de afinidad d, el eje de afinidad y la razón k= -3/2
(la razón es una escala de transformación y el menos significa que la afinidad es inversa).

INVERSIÓN DE UN PUNTO ALINEADO

Conociendo el centro de inversión O y un par de puntos inversos A y A´, hallar el inverso del punto B.
1º Se elige un punto C cualquiera, no alineado con los otros.
2º Mediante mediatrices (el Circuncentro), se traza la circunferencia que pase por A, A´y C.
3º Hallamos C´, el inverso de C.
4º Dibujamos la circunferencia que pase por C, C´ y B, para hallar B´, el inverso de B..

La INVERSIÓN
La Inversión es una transformación geométrica en la que a una figura corresponde otra y en la que se cumple que:

Dos puntos inversos (A, A’) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión (O),
El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante (K) y se llama Potencia de Inversión.

Esto quiere decir que OA·OA’ = OB·OB’ = OT·OT = K 

Trazando sucesivas rectas secantes a esta circunferencia encontramos más puntos y sus inversos. Puesto que K es constante, cuanto mayor sea OA, menor será OA’, es decir, cuando más alejado esté un punto A del Centro O, más cerca estará su inverso A’ del Centro O.

Existe una distancia para la cual un punto A y su inverso son iguales.
Lo puedes ver en el dibujo anterior. Se trata del punto de tangencia. El punto T coincide con su inverso y para él también se cumple que
OT·OT = K
Por tanto, OT = Raíz cuadrada de K

Conociendo el centro de inversión y un par de puntos inversos, hallar la figura inversa de una recta r.

Conociendo el centro de inversión y un par de puntos inversos, hallar la inversa de una circunferencia.

Actividades y EJERCICIOS RESUELTOS